المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية
ENGLISH
آخر المواضيع المضافة

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

وثائقيات
العباءة العربية .. إرث الآباء واعتزاز الأبناء
التاريخ / 20-09-2024


Noncentral F-Distribution  
  
2873   02:22 صباحاً   date: 10-4-2021
Author : Patnaik, P. B.
Book or Source : "The Non-Central c_2- and F-Distributions and Their Applications." Biometrika 36
Page and Part : ...


Read More
Heads-Minus-Tails Distribution
Date: 18-4-2021 1871
F-Distribution
Date: 5-4-2021 3482
Zipf,s Law
Date: 11-2-2021 1521

Noncentral F-Distribution

The doubly noncentral F-distribution describes the distribution (X/n_1)/(Y/n_2) for two independently distributed noncentral chi-squared variables X:chi_(n_1)^2(lambda_1) and Y:chi_(n_2)^2(lambda_2) (Scheffe 1959, Bulgren 1971). If lambda_1=lambda_2=0, this becomes the usual (central) F-distribution, and if lambda_1!=0,lambda_2=0, it becomes the singly noncentral F-distribution. The case lambda_1=0,lambda_2!=0 gives a special case of the doubly noncentral distribution.

The probability density function of the doubly noncentral F-distribution is

P(n_1,n_2;lambda_1,lambda_2;x) =sum_(k=0)^inftysum_(l=0)^infty(n_1^(k+n_1/2)n_2^(l+n_2/2)x^(k+n_1/2-1)lambda_1^klambda_2^l)/(2^(k+l)k!!e^((lambda_1+lambda_2)/2)B(k+1/2n_1,l+1/2n_2)) ×(n_2+n_1x)^(-(k+l)-(n_1+n_2)/2)

(1)

and the distribution function by

D(n_1,n_2;lambda_1,lambda_2;x)=sum_(k=0)^inftysum_(l=0)^infty((n_1x)/(n_2))^(k+n_1/2) ×(lambda_1^klambda_2^l_2F_1(k+1/2n_1,k+l+1/2(n_1+n_2);k+1+1/2n_1;-(n_1)/(n2)x))/(2^(k+l-1)e^((lambda_1+lambda_2)/2)(2k+n_1)B(1/2n_1+k,1/2n_2+l)k!l!),

(2)

where B(p,q) is a beta function and _2F_1(a,b;c;z) is a hypergeometric function. The nth raw moment is given analytically as

(3)

The singly noncentral F-distribution is given by

P(x) = e^(-lambda/2+(lambdan_1x)/[2(n_2+n_1x)])n_1^(n_1/2)n_2^(n_2/2)x^(n_1/2-1)(n_2+n_1x)^(-(n_1+n_2)/2)(Gamma(1/2n_1)Gamma(1+1/2n_2)L_(n_2/2)^(n_1/2-1)(-(lambdan_1x)/(2(n_2+n_1x))))/(B(1/2n_1,1/2n_2)Gamma[1/2(n_1+n_2)])

(4)
= 1/(B(1/2n_1,1/2n_2))(e^(lambda/2)x^(n_1/2-1)(xn_1+n_2)^(-(n_1+n_2)/2)n_1^(n_1/2)n_2^(n_2/2)_1F_1(1/2(n_1+n_2);1/2n_1;(xlambdan_1)/(2(xn_1+n_2)))),

(5)

where Gamma(z) is the gamma function, B(alpha,beta) is the beta function, and L_m^n(z) is a generalized Laguerre polynomial. It is implemented in the Wolfram Language as NoncentralFRatioDistribution[n1, n2, lambda].

The nth raw moment of the singly noncentral F-distribution is given analytically as

(6)

The first few raw moments are then

= (n_2(lambda+n_1))/(n_1(n_2-2))

(7)
= (n_2^2[lambda^2+2(n_1+2)lambda+n_1(n+1+2)])/(n_1^2(n_2-2)(n_2-4))

(8)
= (n_2^3[lambda^3+3(n_1+4)lambda^2+3(n_1+2)(n_1+4)lambda+n_1(n_1+2)(n_1+4)])/(n_1^3(n_2-6)(n_2-4)(n_2-2))

(9)
= (n_2^4[lambda^4+4(n_1+6)lambda^3+6(n_1+4)(n_1+6)lambda^2+4(n_1+2)(n_1+4)(n_1+6)lambda+n_1(n_1+2)(n_1+4)(n_1+6)])/(n_1^4(n_2-8)(n_2-6)(n_2-4)(n_2-2)),

(10)

and the first few central moments are

mu_2 = (2n_2^2[lambda^2+2(n_1+n_2-2)lambda+n_1(n_1+n_2-2)])/(n_1^2(n_2-2)^2(n_2-4))

(11)
mu_3 = (8n_2^3[2lambda^3+6(n_1+n_2-2)lambda^2+3(n_1+n_2-2)(2n_1+n_2+2)lambda+n_1(n_1+n_2-2)(2n_1+n_2-2)])/(n_1^3(n_2-2)^3(n_2-4)(n_2-6)).

(12)

The mean and variance are therefore given by

mu = ((lambda+n_1)n_2)/(n_1(n_2-2))

(13)
sigma^2 = (n_2^2[lambda^2+(2n_1+4)lambda+n_1(n_1+2)])/(n_1^2(n_2-4)(n_2-2)^2).

(14)

REFERENCES:

Patnaik, P. B. "The Non-Central c_2- and F-Distributions and Their Applications." Biometrika 36, 202-232, 1949.

Bulgren, W. G. "On Representations of the Doubly Non-Central F Distribution." J. Amer. Stat. Assoc. 66, 184, 1971.

Scheffé, H. The Analysis of Variance. New York: Wiley, pp. 135 and 415, 1959.

Stuart, A.; and Ord, J. K. Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol. 2A: Classical Inference & the Linear Model, 6th ed. New York: Oxford University Press, p. 893, 1999.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.





الأخبار الصحية
للعاملين في الليل.. حيلة صحية تجنبكم خطر هذا النوع من العمل
التاريخ / 2025-04-13

الأخبار العلمية
"ناسا" تحتفي برائد الفضاء السوفياتي يوري غاغارين
التاريخ / 2025-04-13

الساحة الاسلامية
نحو شراكة وطنية متكاملة.. الأمين العام للعتبة الحسينية يبحث مع وكيل وزارة الخارجية آفاق التعاون المؤسسي
التاريخ / 2025-04-14