المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية

حفص بن سوقة
7-9-2016
المقصود من {صِرَاطَ الَّذِينَ أَنْعَمْتَ عَلَيْهِمْ}
2-08-2015
تعريف تفويض (تخويل) الاختصاص
2024-07-11
مهارة التفكير الناقد والإعلام الجديد
23-1-2022
رسم مستوي شبكي
14-6-2019
لنهذب ألسنتنا وننزه كلامنا
18-8-2022

Error Propagation  
  
1287   05:58 مساءً   date: 11-2-2021
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover,
Page and Part : ...


Read More
Date: 18-2-2021 2513
Date: 30-4-2021 2535
Date: 24-2-2021 1809

Error Propagation

Given a formula y=f(x) with an absolute error in x of dx, the absolute error is dy. The relative error is dy/y. If x=f(u,v,...), then

 x_i-x^_=(u_i-u^_)(partialx)/(partialu)+(v_i-v^_)(partialx)/(partialv)+...,

(1)

where x^_ denotes the mean, so the sample variance is given by

s_x^2 = 1/(N-1)sum_(i=1)^(N)(x_i-x^_)^2

(2)

= 1/(N-1)sum_(i=1)^(N)[(u_i-u^_)^2((partialx)/(partialu))^2+(v_i-v^_)^2((partialx)/(partialv))^2+2(u_i-u^_)(v_i-v^_)((partialx)/(partialu))((partialx)/(partialv))+...].

(3)

The definitions of variance and covariance then give

s_u^2 = 1/(N-1)sum_(i=1)^(N)(u_i-u^_)^2

(4)

s_v^2 = 1/(N-1)sum_(i=1)^(N)(v_i-v^_)^2

(5)

s_(uv) = 1/(N-1)sum_(i=1)^(N)(u_i-u^_)(v_i-v^_)

(6)

(where s_(ii)=s_i^2), so

 s_x^2=s_u^2((partialx)/(partialu))^2+s_v^2((partialx)/(partialv))^2+2s_(uv)((partialx)/(partialu))((partialx)/(partialv))+....

(7)

If u and v are uncorrelated, then s_(uv)=0 so

 s_x^2=s_u^2((partialx)/(partialu))^2+s_v^2((partialx)/(partialv))^2.

(8)

Now consider addition of quantities with errors. For x=au+/-bvpartialx/partialu=a and partialx/partialv=+/-b, so

 s_x^2=a^2s_u^2+b^2s_v^2+/-2abs_(uv).

(9)

For division of quantities with x=+/-au/vpartialx/partialu=+/-a/v and partialx/partialv=∓au/v^2, so

 s_x^2=(a^2)/(v^2)s_u^2+(a^2u^2)/(v^4)s_v^2-2a/v(au)/(v^2)s_(uv).

(10)

Dividing through by x^2 and rearranging then gives

 ((s_x)/x)^2=((s_u)/u)^2+((s_v)/v)^2-2((s_(uv))/u)((s_(uv))/v).

(11)

For exponentiation of quantities with

 x=a^(+/-bu)=(e^(lna))^(+/-bu)=e^(+/-b(lna)u),

(12)

and

 (partialx)/(partialu)=+/-b(lna)e^(+/-blnau)=+/-b(lna)x,

(13)

so

 s_x=s_ub(lna)x

(14)

 (s_x)/x=blnas_u.

(15)

If a=e, then

 (s_x)/x=bs_u.

(16)

For logarithms of quantities with x=aln(+/-bu)partialx/partialu=a(+/-b)/(+/-bu)=a/u, so

 s_x^2=s_u^2((a^2)/(u^2))

(17)

 s_x=a(s_u)/u.

(18)

For multiplication with x=+/-auvpartialx/partialu=+/-av and partialx/partialv=+/-au, so

 s_x^2=a^2v^2s_u^2+a^2u^2s_v^2+2a^2uvs_(uv)

(19)

((s_x)/x)^2 = (a^2v^2)/(a^2u^2v^2)s_u^2+(a^2u^2)/(a^2u^2v^2)s_v^2+(2a^2uv)/(a^2u^2v^2)s_(uv)

(20)

= ((s_u)/u)^2+((s_v)/v)^2+2((s_(uv))/(uv)).

(21)

For powers, with x=au^(+/-b)partialx/partialu=+/-abu^(+/-b-1)=+/-bx/u, so

 s_x^2=s_u^2(b^2x^2)/(u^2)

(22)

 (s_x)/x=b(s_u)/u.

(23)


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 14, 1972.

Bevington, P. R. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. New York: McGraw-Hill, pp. 58-64, 1969.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.