المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
{افان مات او قتل انقلبتم على اعقابكم}
2024-11-24
العبرة من السابقين
2024-11-24
تدارك الذنوب
2024-11-24
الإصرار على الذنب
2024-11-24
معنى قوله تعالى زين للناس حب الشهوات من النساء
2024-11-24
مسألتان في طلب المغفرة من الله
2024-11-24

جرجير بري Wall mustard (Brassica tenuifolia or Diplotaxis tenuifolia)
2024-08-25
طفرات الحذف Deletion Mutants
15-1-2018
نيد هام ، جون توربرفيل
2-12-2015
التحدّي في خطوات
7-11-2014
أنواع المقال الصحفي
5-1-2023
وجود الأوزون والميثان
27-8-2017

Dickman Function  
  
1711   03:17 مساءً   date: 20-12-2018
Author : Dickman, K.
Book or Source : "On the Frequency of Numbers Containing Prime Factors of a Certain Relative Magnitude." Arkiv för Mat., Astron. och Fys.
Page and Part : ...


Read More
Date: 27-5-2018 722
Date: 22-5-2018 1757
Date: 5-7-2018 846

Dickman Function

 

DickmanFunction

The probability that a random integer between 1 and x will have its greatest prime factor <=x^alpha approaches a limiting value F(alpha) as x->infty, where F(alpha)=1 for alpha>1 and F(alpha) is defined through the integral equation

 F(alpha)=int_0^alphaF(t/(1-t))(dt)/t

(1)

for 0<=alpha<=1 (Dickman 1930, Knuth 1998), which is almost (but not quite) a homogeneous Volterra integral equation of the second kind. The function can be given analytically for 1/2<=alpha<=1 by

F(alpha) = 1-int_alpha^1F(t/(1-t))(dt)/t

(2)

= 1-int_alpha^1(dt)/t

(3)

= 1+lnalpha

(4)

(Knuth 1998).

Amazingly, the average value of x such that p=n^x is

mu = lim_(n->infty)<x>

(5)

= lim_(n->infty)<(lnp)/(lnn)>

(6)

= int_0^1x(dF)/(dx)dx

(7)

= int_0^1F(t/(1-t))dt

(8)

= 0.62432999,

(9)

which is precisely the Golomb-Dickman constant lambda, which is defined in a completely different way!

DickmanFunctionRho

The Dickman function can be solved numerically by converting it to a delay differential equation. This can be done by noting that t/(1-t) will become (1-t)/t=1/t-1 upon multiplicative inversion, so define rho(alpha)=F(1/alpha) to obtain

 rho(1/alpha)=int_0^alpharho(1/t-1)(dt)/t.

(10)

Now change variables under the integral sign by defining

= 1/t

(11)

= -(dt)/(t^2),

(12)

so

(13)

Plugging back in gives

(14)

To get rid of the 1/alphas, define u=1/alpha, so

(15)

But by the first fundamental theorem of calculus,

(16)

so differentiating both sides of equation (15) gives

(17)

This holds for 0<alpha<1, which corresponds to u>1. Rearranging and combining with an appropriate statement of the condition F(alpha)=1 for alpha>1 in the new variables then gives

(18)

The second-largest prime factor will be <=x^beta is given by an expression similar to that for F(alpha). It is denoted G(beta), where G(beta)=1 for beta>=1/2 and

 G(beta)=int_0^beta[G(t/(1-t))-F(t/(1-t))](dt)/t

(19)

for 0<=beta<=1/2.


REFERENCES:

Dickman, K. "On the Frequency of Numbers Containing Prime Factors of a Certain Relative Magnitude." Arkiv för Mat., Astron. och Fys. 22A, 1-14, 1930.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 382-384, 1998.

Norton, K. K. Numbers with Small Prime Factors, and the Least kth Power Non-Residue. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1971.

Panario, D. "Smallest Components in Combinatorial Structures." Feb. 16, 1998. http://algo.inria.fr/seminars/sem97-98/panario.pdf.

Ramaswami, V. "On the Number of Positive Integers Less than x and Free of Prime Divisors Greater than x^c." Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1122-1127, 1949.

Ramaswami, V. "The Number of Positive Integers <=X and Free of Prime Divisors >x^C, and a Problem of S. S. Pillai." Duke Math. J. 16, 99-109, 1949.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.