المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
عمليات خدمة الثوم بعد الزراعة
2024-11-22
زراعة الثوم
2024-11-22
تكاثر وطرق زراعة الثوم
2024-11-22
تخزين الثوم
2024-11-22
تأثير العوامل الجوية على زراعة الثوم
2024-11-22
Alternative models
2024-11-22


Wave Equation--Rectangle  
  
2018   02:06 مساءً   date: 25-7-2018
Author : المرجع الالكتروني للمعلوماتيه
Book or Source : المرجع الالكتروني للمعلوماتيه
Page and Part : ...


Read More
Date: 21-7-2018 1114
Date: 21-7-2018 978
Date: 21-7-2018 2197

Wave Equation--Rectangle

To find the motion of a rectangular membrane with sides of length L_x and L_y (in the absence of gravity), use the two-dimensional wave equation

(1)

where z(x,y,t) is the vertical displacement of a point on the membrane at position (x,y) and time t. Use separation of variables to look for solutions of the form

(2)

Plugging (2) into (1) gives

(3)

where the partial derivatives have now become complete derivatives. Multiplying (3) by  gives

(4)

The left and right sides must both be equal to a constant, so we can separate the equation by writing the right side as

(5)

This has solution

(6)

Plugging (5) back into (◇),

(7)

which we can rewrite as

(8)

since the left and right sides again must both be equal to a constant. We can now separate out the Y(y) equation

(9)

where we have defined a new constant k_y satisfying

(10)

Equations (◇) and (◇) have solutions

(11)

(12)

We now apply the boundary conditions to (11) and (12). The conditions z(0,y,t)=0 and z(x,0,t)=0 mean that

 E=0    G=0.

(13)

Similarly, the conditions z(L_x,y,t)=0 and  give sin(k_xL_x)=0 and , so L_xk_x=ppiand , where p and q are integers. Solving for the allowed values of k_x and k_y then gives

(14)

Plugging (◇), (◇), (◇), (◇), and (14) back into (◇) gives the solution for particular values of p and q,

(15)

Lumping the constants together by writing  (we can do this since omega is a function of p and q, so C_omegacan be written as C_(pq)) and , we obtain

(16)

Plots of the spatial part for modes are illustrated above.

The general solution is a sum over all possible values of p and q, so the final solution is

(17)

where omega is defined by combining (◇) and (◇) to yield

(18)

Given the initial conditions z(x,y,0) and , we can compute the A_(pq)s and B_(pq)s explicitly. To accomplish this, we make use of the orthogonality of the sine function in the form

(19)

where  is the Kronecker delta. This can be demonstrated by direct integration. Let  so  in (◇), then

(20)

Now use the trigonometric identity

(21)

to write

 I=L/(2pi)int_0^picos[(m-n)u]du+int_0^picos[(m+n)u]du.

(22)

Note that for an integer l!=0, the following integral vanishes

=

(23)

=

(24)

=

(25)

= 0,

(26)

since sin(lpi)=0 when l is an integer. Therefore, I=0 when . However, I does not vanish when l=0, since

(27)

We therefore have that , so we have derived (◇). Now we multiply z(x,y,0) by two sine terms and integrate between 0 and L_x and between 0 and L_y,

(28)

Now plug in z(x,y,t), set t=0, and prime the indices to distinguish them from the p and q in (28),

(29)

Making use of (◇) in (29),

(30)

so the sums over  and  collapse to a single term

(31)

Equating (30) and (31) and solving for A_(pq) then gives

(32)

An analogous derivation gives the B_(pq)s as

(33)




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.