Consider a first-order ODE in the slightly different form

(1)

Such an equation is said to be exact if

(2)

This statement is equivalent to the requirement that a conservative field exists, so that a scalar potential can be defined. For an exact equation, the solution is

(3)

where  is a constant.

A first-order ODE (◇) is said to be inexact if

(4)

For a nonexact equation, the solution may be obtained by defining an integrating factor  of (◇) so that the new equation

(5)

satisfies

(6)

or, written out explicitly,

(7)

This transforms the nonexact equation into an exact one. Solving (7) for  gives

(8)

Therefore, if a function  satisfying (8) can be found, then writing

			(9)
			(10)

in equation (◇) then gives

(11)

which is then an exact ODE. Special cases in which  can be found include -dependent, -dependent, and -dependent integrating factors.

Given an inexact first-order ODE, we can also look for an integrating factor  so that

(12)

For the equation to be exact in  and , the equation for a first-order nonexact ODE

(13)

becomes

(14)

Solving for  gives

			(15)
			(16)

which will be integrable if

			(17)
			(18)

in which case

(19)

so that the equation is integrable

(20)

and the equation

(21)

with known  is now exact and can be solved as an exact ODE.

Given an exact first-order ODE, look for an integrating factor . Then

(22)

(23)

Combining these two,

(24)

For the equation to be exact in  and , the equation for a first-order nonexact ODE

(25)

becomes

(26)

Therefore,

(27)

Define a new variable

(28)

then , so

(29)

Now, if

(30)

then

(31)

so that

(32)

and the equation

(33)

is now exact and can be solved as an exact ODE.

Given an inexact first-order ODE, assume there exists an integrating factor

(34)

so . For the equation to be exact in  and , equation (◇) becomes

(35)

Now, if

(36)

then

(37)

so that

(38)

and the equation

(39)

is now exact and can be solved as an exact ODE.

Given a first-order ODE of the form

(40)

define

(41)

Then the solution is

{lnx=int(g(v)dv)/(c[g(v)-f(v)])+c for g(v)!=f(v); xy=c for g(v)=f(v). " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/ExactFirst-OrderOrdinaryDifferentialEquation/NumberedEquation36.gif" style="height:64px; width:278px" />

(42)

If

(43)

where

(44)

then letting

(45)

gives

(46)

(47)

This can be integrated by quadratures, so

(48)

(49)

REFERENCES:

Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.

Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.

Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الطبية يقدم الخدمات الصحية والعلاجية لزائري مدينة سامراء

العتبة العباسية المقدسة تقدم خدماتها لزائري مرقد الإمامين العسكريين (عليهما السلام) في سامراء

المجمَع العلمي ووفد وزارة التربية يبحثان سبل التعاون المشترك

قسم الشؤون الفكرية يصدر العدد 192 من مجلة الرياحين للأطفال

المزيد

الآخبار الصحية

كنز غذائي على طبقك.. ماذا تفعل السبانخ بجسمك؟

ما لا يتوقعه أحد.. "سر غذائي" في الجبن الدسم

لتحسين الهضم والنوم.. هذا أفضل وقت لتناول العشاء

10 طرق بسيطة وغير مألوفة لحرق المزيد من السعرات يوميا

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سابقة بعالم الطيران.. طائرة تقرر الهبوط بنفسها بعد ظرف طارئ

"الإنفلونزا الخارقة" تكتسح دول العالم.. وتثير قلقا كبيرا

مرحلة ما قبل الأعراض.. دواء جديد يستهدف "شرارة" الزهايمر

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

المزيد