تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Duffing Differential Equation
المؤلف:
Bender, C. M. and Orszag, S. A
المصدر:
dvanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill
الجزء والصفحة:
...
11-6-2018
1638
Duffing Differential Equation
The most general forced form of the Duffing equation is
![]() |
(1) |
Depending on the parameters chosen, the equation can take a number of special forms. For example, with no damping and no forcing, and taking the plus sign, the equation becomes
![]() |
(2) |
(Bender and Orszag 1978, p. 547; Zwillinger 1997, p. 122). This equation can display chaotic behavior. For , the equation represents a "hard spring," and for
, it represents a "soft spring." If
, the phase portrait curves are closed.
If instead we take ,
, reset the clock so that
, and use the minus sign, the equation is then
![]() |
(3) |
This can be written as a system of first-order ordinary differential equations as
![]() |
![]() |
![]() |
(4) |
![]() |
![]() |
![]() |
(5) |
(Wiggins 1990, p. 5) which, in the unforced case, reduces to
![]() |
![]() |
![]() |
(6) |
![]() |
![]() |
![]() |
(7) |
(Wiggins 1990, p. 6; Ott 1993, p. 3).
The fixed points of this set of coupled differential equations are given by
![]() |
(8) |
so , and
![]() |
![]() |
![]() |
(9) |
![]() |
![]() |
![]() |
(10) |
giving . The fixed points are therefore
,
, and
.
Analysis of the stability of the fixed points can be point by linearizing the equations. Differentiating gives
![]() |
![]() |
![]() |
(11) |
![]() |
![]() |
![]() |
(12) |
![]() |
![]() |
![]() |
(13) |
which can be written as the matrix equation
![]() |
(14) |
Examining the stability of the point (0,0):
![]() |
(15) |
![]() |
(16) |
But , so
is real. Since
, there will always be one positive root, so this fixed point is unstable. Now look at (
, 0). The characteristic equation is
![]() |
(17) |
which has roots
![]() |
(18) |
For ,
, so the point is asymptotically stable. If
,
, so the point is linearly stable (Wiggins 1990, p. 10). However, if
, the radical gives an imaginary part and the real part is
, so the point is unstable. If
,
, which has a positive real root, so the point is unstable. If
, then
, so both roots are positive and the point is unstable.
Interestingly, the special case with no forcing,
![]() |
![]() |
![]() |
(19) |
![]() |
![]() |
![]() |
(20) |
can be integrated by quadratures. Differentiating (19) and plugging in (20) gives
![]() |
(21) |
Multiplying both sides by gives
![]() |
(22) |
But this can be written
![]() |
(23) |
so we have an invariant of motion ,
![]() |
(24) |
Solving for gives
![]() |
(25) |
![]() |
(26) |
so
![]() |
(27) |
(Wiggins 1990, p. 29).
Note that the invariant of motion satisfies
![]() |
(28) |
![]() |
(29) |
so the equations of the Duffing oscillator are given by the Hamiltonian system
![]() |
![]() |
![]() |
(30) |
![]() |
![]() |
![]() |
(31) |
(Wiggins 1990, p. 31).
REFERENCES:
Bender, C. M. and Orszag, S. A. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, p. 547, 1978.
Ott, E. Chaos in Dynamical Systems. New York: Cambridge University Press, 1993.
Tabor, M. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, p. 35, 1989.
Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Wigner Function of a Duffing Oscillator." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#N_1_08.
Wiggins, S. "Application to the Dynamics of the Damped, Forced Duffing Oscillator." §1.2E in Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer-Verlag, pp. 5-6, 10, 23, 26-32, 44-45, 50-51, and 153-175, 1990.
Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 413, 1995.
Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 122, 1997.
الاكثر قراءة في معادلات تفاضلية
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
